الفصل الأول

الكينماتيكا: الوصف الرياضياتي للحركة

الكينماتيكا هي ببساطة الوصف الرياضياتي للحركة، دون الرجوع إلى القوى التي تسبِّب الحركة. ومن ثمَّ، فإن الكينماتيكا ليست في الواقع جزءًا من علم الفيزياء، لكنها تمنحنا الإطار الرياضياتي الذي يمكن من خلاله صياغة قوانين الفيزياء بطريقة دقيقة.

(١) الحركة في بُعد واحد

دعنا نتأمل جسمًا ماديًّا (جسيمًا) محدَّد الحركة على طول خط مستقيم معيَّن (مثلًا: سيارة متحركة على طريق سريع مستقيم). إذا اتخذنا نقطةً ما على الخط لتكون نقطة الأصل، فيمكن تعيين موضع الجسيم عند أي لحظة بعدد يعطي المسافة من نقطة الأصل إلى الجسيم. تُعيَّن قيم موجبة للنقاط الموجودة على أحد جانبي نقطة الأصل، وتُعيَّن قيم سالبة للنقاط الموجودة على الجانب الآخر لنقطة الأصل، وبهذا تكون كل قيمة من مناظرة لنقطة وحيدة. أما أي الاتجاهين هو الموجب وأيهما يكون السالب، فهذا أمر اتفاقي. تعتمد قيمة العددية بصورة واضحة على وحدة الطول التي نستخدمها (مثلًا: القدم، أو المتر، أو الميل). إذا لم يكن الجسيم ساكنًا فإن سوف تتغير مع الزمن. يُرمز لقيمة عند زمن بالرمز .

تُعَرَّف السرعة المتوسطة لجسيم خلال الفترة الزمنية من إلى بالعلاقة:

(1-1)

أي إنها التغير في الموضع مقسومًا على التغيُّر في الزمن. إذا رسمنا رسمًا بيانيًّا ﻟ مقابل (مثلًا، شكل ١-١) سوف نرى أن ما هو إلا ميل الخط المستقيم المتقطع الذي يصل بين النقطتين اللتين تمثلان موضعي الجسيم عند الزمنين و.

شكل ١-١:

مثال للموضع مقابل الزمن.

إن المفهوم الأهم والأكثر دقة هو مفهوم السرعة اللحظية (التي يظهرها عداد السرعة في سيارتك). إذا أبقينا على ثابتة وتركنا تقترب أكثر فأكثر من ، فإن حاصل المقدار سوف يقترب من قيمة نهائية محددة (شريطة أن يكون الرسم البياني ﻟ مقابل سلسًا بدرجة كافية) هي ميل المماس لمنحنى مقابل عند النقطة . يطلق على هذه القيمة النهائية، التي يمكن اعتبارها متوسط السرعة خلال فترة زمنية متناهية الصغر تتضمن الزمن : «السرعة اللحظية عند زمن »، أو باختصار أكثر «السرعة عند زمن ». وتُكتب على الصورة:

(1-2)

هذه المعادلة مألوفة لأي شخص درس علم حساب التفاضل، يسمى الجانب الأيمن «بمشتقة بالنسبة إلى » التي كثيرًا ما يُرمز لها بالرمز . ومن ثَمَّ يكون .

شكل ١-٢:

مثال آخر على الموضع مقابل الزمن.

إذا كانت معطاة في هيئة معادلة صريحة، فيمكننا حساب إما مباشرة من المعادلة (1-2) أو باستخدام قواعد حساب المشتقات التي تُدَرَّس في مناهج حساب التفاضل والتكامل (هذه القواعد، منها مثلًا: ، تلخص فقط نتائج تعيين الجانب الأيمن من (1-2) لدوال من متعددة الصور). أحد التمارين المفيدة هو رسم منحنى بياني كيفي سليم عندما تكون معطاة في هيئة منحنًى بياني بدلًا من أن تكون معطاة في هيئة علاقة رياضياتية. افترض، على سبيل المثال، أن الرسم البياني هو شكل ١-٢. نرسم منحنًى بيانيًّا عن طريق تقدير الميل للمنحنى البياني مقابل عند كل نقطة. سنجد أن الميل يكون موجبًا عند (وتكون له قيمة عددية تقدر بحوالي ٢٠٠ قدم/ثانية، مع أننا لسنا مهتمِّين هنا بالأرقام الدقيقة جدًّا) ويستمر موجبًا ولكن بقيم متناقصة حتى . ويكون الميل صفرًا بين و، ثُمَّ يصبح بعدها سالبًا، وهكذا. (إذا كانت قيمة الموجبة تعني أن الجسم يتحرك إلى الأمام، فإن قيمة السالبة تعني أن الجسم يتحرك إلى الخلف.) الشكل ١-٣ يعرض منحنًى بيانيًّا تقريبيًّا ﻟ .

شكل ١-٣:

المنحنى البياني المناظر للسرعة مقابل الزمن.

إذا كان لدينا ، إما في هيئة علاقة رياضياتية أو منحنًى بياني، فإنه يمكننا حساب . العملية الرياضياتية لإيجاد الدالة عندما يكون مقدار ميلها معلومًا عند جميع النقاط تسمى «التكامل». فمثلًا، إذا كان ، فإن ، حيث ثابت ما (البرهان ببساطة هو حساب والتأكُّد من أننا نحصل على المرغوبة). ظهور الثابت الاعتباطي في ليس مفاجئًا؛ لأن العلم بالسرعة عند جميع الأزمنة ليس كافيًا تمامًا لتعيين الموضع عند جميع الأزمنة على نحو كامل. فينبغي لنا أيضًا أن نعلم من أين بدأ الجسم؛ أي، قيمة عند . فإذا كان ، فإن .

لنفترض أن لدينا مثلًا المنحنى البياني ، شكل ١-٤. ولنتدبر المستطيل المظلل الذي ارتفاعه وعرضه ، حيث فترة زمنية قصيرة جدًّا.

شكل ١-٤:

المساحة المظللة تمثل الإزاحة خلال .

مساحة هذا المستطيل هي ، وتساوي الإزاحة (أي التغير في ) للجسيم خلال الفترة الزمنية من إلى . (بالمعنى الدقيق، لا تكون العبارة السابقة صحيحة تمامًا إلا إذا كانت ثابتة خلال الفترة الزمنية من إلى ، ولكن إذا كان التغير صغيرًا بدرجة كافية فيمكن إهمال تغير خلال هذه الفترة.) إذا كان و هما أي زمنين، وقمنا بتقسيم الفترة بينهما إلى فترات كثيرة صغيرة، فإن الإزاحة خلال أيٍّ من تلك الفترات الجزئية تساوي تقريبًا مساحة المستطيل المناظر في شكل ١-٥. ومن ثم، فإن محصلة الإزاحة تساوي تقريبًا مجموع مساحات المستطيلات. وكلما كانت الفترات الجزئية أصغر فأصغر، يصير من الممكن إهمال الخطأ في هذا التقريب؛ وبذلك نجد أن المساحة تحت الجزء من منحنى مقابل الواقع بين زمن و تساوي الإزاحة التي يجتازها الجسيم خلال تلك الفترة الزمنية.

شكل ١-٥:

المساحة المظللة تمثل الإزاحة خلال .

إن العبارة السابقة صحيحة حتى لو أصبحت سالبة، بشرط أن نُعرِّف المساحة بأنها سالبة في المناطق التي تكون فيها سالبة. بلغة حساب التكامل نكتب:

(1-3)

يسمى الجانب الأيمن من المعادلة (1-3) «تكاملَ بالنسبة إلى من إلى »، ويعرَّف رياضيًّا بأنه نهاية مجموع مساحات المستطيلات في شكل ١-٥ عندما تئول مقادير عرض المستطيلات المفردة إلى صفر.

شكل ١-٦:

رسم بياني للسرعة مقابل الزمن بالنسبة لسيارة.

مثال ١-١ (حساب المسافة والسرعة المتوسطة). يبين شكل ١-٦ سرعة سيارة ما كدالَّة في الزمن. احسب بُعد السيارة عن نقطة بدايتها عند . احسب السرعة المتوسطة خلال الفترة من إلى ، وخلال الفترة من إلى .

الحل. حساب المساحات ؛ ؛ ؛ . ؛ السرعة المتوسطة من إلى تساوي ؛ السرعة المتوسطة من إلى تساوي . [ملحوظة: بعد أن يتعلم الطلاب المزيد من العلاقات، سوف يستخدم الكثير منهم علاقات رياضياتية بدلًا من الحساب البسيط للمساحات ويحصلون على نتيجة خاطئة.]

مثال ١-٢. سيدة تقود سيارتها بين كشكين لتحصيل الرسوم يبعدان ٦٠ ميلًا عن بعضهما. تقود الثلاثين ميلًا الأولى بسرعة مقدارها ٤٠ ميلًا في الساعة. ما مقدار السرعة (الثابتة) التي ينبغي أن تقود بها الأميال المتبقية لكي يكون مقدار سرعتها المتوسطة بين كشكي دفع الرسوم ٥٠ ميلًا في الساعة؟

الحل. إذا كان هو الزمن الكلي مقاسًا بالساعة و، يكون . زمن الثلاثين ميلًا الأولى هو: . وبذلك، يكون زمن الثلاثين ميلًا المتبقية هو: . وينبغي أن يكون مقدار السرعة أثناء قطع الثلاثين ميلًا الثانية هو: .

(٢) التسارع (العجلة)

تُعَرَّف العجلة بأنها معدل تغير السرعة. وتُعَرَّف العجلة المتوسطة خلال الفترة من إلى بالمعادلة:

حيث و هما القيمتان اللحظيتان للسرعة عند الزمنين و. تُعَرَّف العجلة اللحظية بأنها العجلة المتوسطة خلال فترة زمنية متناهية الصغر؛ أي:

(1-5)

بما أن ، فيمكننا كتابة (بلغة حساب التفاضل والتكامل) . نؤكِّد على أن هذا هو ببساطة اختصار للمعادلة .

بمقارنة المعادلتين (1-5) و(1-2) نجِد أن العلاقة بين و مماثلة للعلاقة بين و. يُستنتج من ذلك أنه إذا كانت معطاة برسم بياني؛ فإن ميل المُنحنى البياني هو . إذا كان معطى برسم بياني فينبغي أن نتوقع أيضًا أن المساحة تحت جزء المنحنى الواقع بين زمن وزمن تساوي التغيُّر في السرعة . المعادلة المشابهة للمعادلة (1-3) هي:

شكل ١-٧:

رسم بياني لعجلة ثابتة.

مثال ١-٣ (العجلة اللحظية). ارسم منحنًى بيانيًّا للعجلة المتوسطة إذا كانت معطاة بشكل ١-٦.

(٣) الحركة بعجلة ثابتة

جميع المناقشات السابقة مناقشات عامة بالكامل وتُطَبَّقُ على أي حركة أحادية البعد. والحركة التي تكون العجلة فيها ثابتة مع الزمن تُعَد حالة خاصة مهمة. سوف نجِد بعد قليل أن هذه الحالة تحدث كلما كانت القوى هي نفسها دائمًا عند أي زمن. إن المنحنى البياني للعجلة مقابل الزمن بسيط (شكل ١-٧). المساحة تحت جزء هذا المنحنى البياني الواقع بين الزمن صفر وزمن تساوي . وبذلك يكون . لكي نصل إلى التعبير المستخدم بصورة شائعة نكتب بدلًا من و بدلًا من . بذلك يكون:

(1-7)

الرسم البياني مقابل (شكل ١-٨) عبارة عن خط مستقيم ميله . يمكننا الحصول على علاقة صريحة ﻟ عن طريق إدخال هذه العلاقة في المعادلة (1-3) وإجراء التكامل أو — بدون حساب التكامل — عن طريق حساب المساحة المظللة تحت الخط في شكل ١-٨ بين و. هندسيًّا (شكل ١-٩)، تكون المساحة تحت شكل ١-٨ بين و هي العرض مضروبًا في الارتفاع عند نقطة المنتصف وهو . وبذلك نجد أن . وأخيرًا يكون:

(1-8)

إذا أردنا استخدام حساب التفاضل والتكامل (أي: معادلة (1-3))، نكتب:

(لاحظ أننا أعدنا تسمية متغير التكامل «الوهمي» لتجنب الخلط بينه وبين النهاية العظمى للتكامل.)

بمقارنة المعادلة (1-8) مع تعريف السرعة المتوسطة (معادلة (1-1)) نجد أن السرعة المتوسطة خلال أي فترة زمنية تساوي نصف مجموع السرعتين الابتدائية والنهائية. وفيما عدا حالات خاصة، يكون هذا صحيحًا فقط للحركة ذات العجلة المنتظمة.

نرغب أحيانًا في معرفة السرعة كدالة للموضع بدلًا من أن تكون دالة للزمن . بحل المعادلة (1-7) ﻟ ، أي: والتعويض في المعادلة (1-8) نحصل على:

شكل ١-٨:

رسم السرعة مقابل الزمن لعجلة ثابتة.

نقوم هنا بتجميع العلاقات الرياضياتية التي سبق اشتقاقها، والقابلة جميعها للتطبيق فقط في حالة الحركة بعجلة ثابتة.

(1-11a)

(1-11d)

هناك غالبًا أكثر من طريقة لحل مسألةٍ ما، ولكن كل الطرق ليست بنفس الكفاءة. فعلى حسب المعلومات المعطاة والسؤال المطروح، تؤدي عادة إحدى العلاقات السابقة أعلاه إلى الجواب مباشرة.

شكل ١-٩:

المساحة تحت المنحنى مقابل .

مثال ١-٤ (مسألة عجلة ثابتة). تتباطأ سيارة (بعجلة تناقصية ثابتة) من 60 mph إلى السكون خلال مسافة 500 ft. [لاحظ أن: 60 mph = 88 ft/sec]

(١)

احسب العجلة.

(٢)

كم استغرقت من الوقت؟

(٣)

ما المسافة التي قطعتها السيارة منذ لحظة بداية عمل المكابح إلى اللحظة التي كان عندها مقدار السرعة 30 mph؟

(٤)

إذا كانت السيارة تسير بسرعة مقدارها 90 mph عند بدء عمل المكابح، بينما كان التباطؤ كما هو سابقًا، كيف سيتغير كل من مسافة التوقف وزمن التوقف؟

الحل. سوف نستخدم الرموز ، .

(١)

(٢)

زمن التوقف، (يمكن أيضًا استخدام المعادلة (1-11a)).

(٣)

إجابة (٣)، أي إن:

(٤)

إجابة (٤). من العلاقة (1-11d) . من العلاقة (1-11a) يكون زمن التوقف هو .

مثال ١-٥ (مثال آخر للعجلة الثابتة). تتسارع سيارة سباق بعجلة ثابتة على شريط اندفاع مستقيم. تمر السيارة برادار (رقم ١) يقيس سرعتها اللحظية بمقدار 60 ft/s بعدها تمر برادار ثانٍ (رقم ٢) يقيس سرعتها اللحظية بمقدار 150 ft/s.

(١)

ما مقدار سرعتها عند منتصف الفترة (الزمنية) بين القياسين؟

(٢)

ما مقدار سرعتها عندما تكون في منتصف المسافة بين الرادارين؟

(٣)

إذا كانت المسافة بين الرادارين هي 500 ft، كم تبعد نقطة البداية عن الرادار (رقم ١)؟

الحل. الرموز: ، ، الفترة الزمنية، الفاصل المكاني.

(١)

. عند زمن يكون .

(٢)

مقدار السرعة عند ، . ، .

(٣)

المسافة من نقطة البداية إلى الرادار (رقم ١). .

(٤) الحركة في بُعدين وفي ثلاثة أبعاد

حركة أي جسيم لا تقتصر بالضرورة على الحركة في خط مستقيم (اعتبر، على سبيل المثال، كرة طائرة أو قمرًا صناعيًّا في مدارٍ حول الأرض)، وعمومًا يتطلب تعيين موضع الجسيم عند زمن ثلاثة محاور كارتيزية، يرمز لها عادة ، ، . تقريبًا في جميع الحالات التي سوف نناقشها، تكون الحركة محدودة في مستوى، وإذا أخذنا اثنين من محاورنا (مثلًا، المحورين و) في المستوى. عندئذٍ سيتطلب تحديد الموضع محورين اثنين فقط.

يعمم مباشرة مفهوم السرعة والعجلة على ثلاثة أبعاد. إذا كانت إحداثيات الجسيم عند زمن هي وعند هي ، حينئذ نُعرِّف سرعة المتوسطة خلال الفترة الزمنية بالمعادلة . وتُعرَّف و بمعادلتين مماثلتين. كما تُعَرَّف سرعة وسرعة وسرعة اللحظية تمامًا كما في حالة الحركة أحادية الأبعاد؛ أي إن:

وهكذا. بالمثل، نُعَرِّف بتعريفات مماثلة لكل من و. وتكون عجلة اللحظية هي:

مع تعريفين مماثلين لكل من و.

يبدو أن كل ما سبق تعوزه البراعة إلى حَدٍّ ما. ومن البدهي تقريبًا أننا نستطيع استبدال ثلاث معادلات بمعادلة واحدة عن طريق إدخال رمز أكثر أناقة. بل إن هذا الرمز الأكثر أناقة، والذي يُسَمَّى الرمز المُتَّجَهِي، له ميزة أكثر أهمية: فهو يمكننا من صياغة قوانين الفيزياء بشكل مستقل صراحة عن اتجاه المَحاوِر المحددة التي قمنا باختيارها اعتباطيًّا. إن القارئ الذي ليست له دراية بالترميز المتجهي أو جمع وطرح المتجهات أو كليهما، عليه قراءة الجزء المتعلق بذلك في ملحق (أ). الأقسام التي تُعَرِّف وتشرح الضرب القياسي والضرب الاتجاهي لمُتجهين ليست ذات صلة في هذه المرحلة ومن ثم يمكن حذفها.

نقدم الرمز كاختصار للعدد الثلاثي المكوَّن من الإحداثيات الثلاث لجسيم. نسمي متجه الموضع للجسيم ونسمي و و مركبات متجه الموضع بالنسبة إلى مجموعة المحاور المختارة. يُعَبَّر عادة عن المتجه في النص المطبوع بواسطة حرف سميك (ثقيل) وفي النص المخطوط باليد أو المكتوب بالآلة الكاتبة يُعَبَّر عنه عادة بحرف فوقه سهم أفقي. (بما أن النسخة الأولية من هذا النص كانت مكتوبة على شكل حروف مطبعية؛ فقد رأينا أنه من الأنسب أن يكون الترميز باستخدام السهم.)

يُعَرَّف متجهَا السرعة والعجلة على الصورتين:

(1-16)

[نؤكد، مرة أخرى، على أهمية فَهم ما يعنيه الفارق بين متجهين كما هو مشروح في ملحق (أ).] تحديدًا، يكون الجسيم متحركًا بعجلة تزايدية إذا كان اتجاه متجه السرعة متغيرًا، حتى لو ظل مقدار متجه السرعة (مقدار السرعة) ثابتًا.

إحدى المسائل الكينماتيكية المهمة للغاية، والتي حلها لأول مرة نيوتن (عام ١٦٨٦) هي حساب السرعة اللحظية لجسيم متحرك في دائرة بسرعة مقدارها ثابت. نسميها الحركة الدائرية المنتظمة. سوف نحل المسألة بطريقتين؛ الأولى: طريقة نيوتن.

(٤-١) الحركة الدائرية: الطريقة الهندسية

تُنشئ الطريقة الهندسية المتجه بشكل صريح وتحسب النهاية المطلوبة بواسطة المعادلة (1-16). نجعل ونبين في شكل ١-١٠ موضع ومتجه سرعة الجسيم عند زمن وزمن . الصورة مرسومة لجسيم يتحرك باتجاه عكس عقارب الساعة، ولكننا سوف نرى أن العجلة نفسها تحدث عند الحركة باتجاه عقارب الساعة. لاحظ أن المتجهين و لهما نفس الطول ، وأن المتجهين و لهما نفس الطول لافتراض أن مقدار السرعة ثابت. الأكثر من ذلك، الزاوية بين المتجهين هي ذاتها الزاوية بين المتجهين لأن عمودي على عند كل لحظة. يكون طول القوس المقطوع بواسطة الجسيم خلال زمن هو ، والقياس الدائري للزاوية بين و هو .

شكل ١-١٠:

هندسة إنشاء العجلة لحركة دائرية ذات مقدار سرعة ثابت.

نحن مهتمون بالنهاية عندما تئول . إذا قمنا بجلب ذيلي و معًا عن طريق إزاحة متوازية لأي من المتجهين، يكون عندئذٍ هو المتجه من قمة إلى قمة (انظر شكل ١-١١). المثلث في شكل ١-١١ متساوي الساقين، وعندما تئول تصبح زاويتا قاعدة المثلث متساوي الساقين قائمتين. لذلك نرى أن تصبح عمودية على متجه السرعة اللحظية وتوازي في الاتجاه العكسي (يكون هذا صحيحًا أيضًا للحركة في اتجاه عقارب الساعة وهو ما يمكن تبينه من رسم الصورة).

مقدار متجه العجلة هو:

وبما أن المثلثين متساويي الساقين في شكلي ١-١١ و١-١٢ متشابهان، فإن . وحيث إن الزاوية بين و صغيرة جدًّا، فيمكن الاستعاضة عن طول الوتر بطول القوس . وبهذا .

لقد بيَّنا إذن أن متجه العجلة له المقدار واتجاهه يكون من الموضع اللحظي للجسيم ناحية مركز الدائرة، أي:

(1-18)

حيث هو متجه وحدة يشير من مركز الدائرة ناحية الجسيم. تسمَّى هذه العجلة التي قمنا بحسابها عادة بالعجلة المركزية. كلمة «مركزية» تعني أنها «متجهة ناحية المركز» وهي لمجرد التذكير باتجاه . إذا لم يكُن مقدار السرعة ثابتًا، يكون للعجلة مركبة مماسية أيضًا مقدارها .

شكل ١-١١:

إنشاء هندسي لتغير السرعة لحركة دائرية ذات مقدار سرعة ثابت.

شكل ١-١٢:

إنشاء هندسي لتغير الموضع لحركة دائرية ذات مقدار سرعة ثابت.

(٤-٢) الحركة الدائرية: الطريقة التحليلية

إذا أدخلنا متجهي الوحدة و (شكل ١-١٣) تكون الصورة المتجهية من مركز الدائرة حتى الموضع اللحظي للجسيم هي ، حيث و هما الإحداثيان القطبيان المعتادان. إذا كان الجسيم يتحرك في دائرة بمقدار سرعة ثابت، يكون و (ثابت). إذن:

لقد استخدمنا قاعدة السلسلة وهكذا. لاحظ أن معادلات التفاضل القياسية تتطلب أن تكون مُعَبَّرًا عنها بالتقدير الدائري. ينبغي أيضًا أن يكون واضحًا أن متجه مماسي للدائرة. لاحظ أن . وبهذا يكون:

وهو مثل ما تم استنتاجه أعلاه بالطريقة الهندسية.

شكل ١-١٣:

إنشاء هندسي لعجلة حركة دائرية ذات مقدار سرعة ثابت.

(٥) حركة جسم يسقط سقوطًا حرًّا

من الحقائق التجريبية أنه بالقرب من أي نقطة على سطح الكرة الأرضية، وفي عدم وجود مقاومة للهواء، تسقط جميع الأجسام بنفس العجلة الثابتة. يُسمَّى مقدار هذه العجلة ويساوي 32 ft/sec² تقريبًا أو 9.8 meters/sec²، ويكون اتجاه العجلة لأسفل؛ أي في اتجاه مركز الكرة الأرضية.

مقدار العجلة يتناسب عكسيًّا مع مربع المسافة من مركز الكرة الأرضية ويكون متجه العجلة في اتجاه مركز الأرض. طبقًا لذلك، يمكن اعتبار مقدار واتجاه العجلة ثابتين فقط في حدود المنطقة التي تكون الأبعاد الخطية فيها صغيرة جدًّا مقارنة بنصف قطر الكرة الأرضية. هذا ما تعنيه عبارة «بالقرب من».

نؤكد على أنه في غياب مقاومة الهواء لا يعتمد مقدار العجلة واتجاهها على سرعة الجسم (خصوصًا، إذا قذفت بكرة إلى أعلى تكون العجلة متجهة لأسفل أثناء ارتفاع الكرة، وأثناء سقوطها، وأيضًا عند اللحظة التي تكون فيها عند أعلى نقطة). لا يمكننا في هذه المرحلة من النقاش «استنتاج» حقيقة أن جميع الأجسام تسقط بنفس العجلة لأننا لم نذكر شيئًا عن القوى (وبالأخص القوة التثاقلية) ولا عن كيفية حركة الجسيم استجابة لقوة ما. ومع ذلك، إذا كنا سنتقبَّل الحقائق التجريبية المعطاة، يمكننا عندئذٍ استخدام أدواتنا الكينماتيكية للإجابة عن جميع الأسئلة المحتملة عن حركة الجسيم تحت تأثير الجاذبية الأرضية.

شكل ١-١٤:

متجه السرعة الابتدائية.

ينبغي توجيه المحور بالطريقة الأنسب رياضيًّا. وسندع المحور الموجَب يشير رأسيًّا إلى أعلى (أي خارجًا من مركز الكرة الأرضية). عندئذٍ ينبغي أن يقع المحور في المستوى الأفقي. نختار اتجاه المحور بحيث تقع السرعة للجسيم عند زمن في المستوى -. وتكون مركبات متجه العجلة هي ، . تؤدي المعادلات (1-11a–1-11d) إلى:

(1-21a)

(1-21b)

(1-21d)

(1-21f)

(1-21g)

سوف نحدد دائمًا موضع نقطة الأصل بحيث يكون ، وبذلك تحدُث الحركة الكلية في المستوى -. عادة ما نضع نقطة الأصل عند الموضع الابتدائي للجسيم بحيث يكون ، ولكن المعادلات التي في الأعلى لا تفترض هذا.

يمكننا الحصول على معادلة المسار (وهي العلاقة بين و) عن طريق حل المعادلة (1-21f) في ثم التعويض بالناتج في (1-21d). نجد أن:

الميكانيكا الكلاسيكية

الميكانيكا الكلاسيكية

نبذة عن الكتاب

الفهرس