وإذ تحقق غاية الميل فيجب أن نمهد لمعرفة الميول الجزئية أصولا يتفرع منها براهين الأمور الكرية وابتدأ بطلميوس بالشكل الموسوم بالقطاع السطحي وهو مبني على تأليف النسب فرأيت أن أورد هاهنا ما يجب أن يعرف منه على وجه الإجاز فأقول تأليف النسب على ما حده أقليدس في صدر المقالة السادسة من كتاب الأصول هو تضعيف بعض أقدارها ببعض لتحدث منها المؤلفة وتجزئتها قسمة أقدارها على أقدار نسب مغروضة لتحدث أقدار نسبهاB (¬40) وقد يعبر عليها بإلقاء المغروضة من المتجزئة لتبقي الحادثة وكل ثلاثة مقادير متجانسة فإذا جعل أحدها وسطا بين الأخرين كانت نسبة الطرفين مؤلفة من نسبة أحدهما إلى الوسط ونسبة الوسط إلى الآخر مثاله @NUM@ ا ب ج مقادير متجانسة جعل @NUM@ ب وسطا بين @NUM@ أ ج فنسبة @NUM@ ا إلى @NUM@ ج مؤلفة من نسبة @NUM@ ا إلى @NUM@ ب ومن نسبة @NUM@ ب إلى @NUM@ ج (¬41) ولنضع لبيانة الواحد الذي به يرام تقدير هذا الجنس من المقادير وليكن (¬42) نسبته إلى @NUM@ ه نسبة @NUM@ ا إلى @NUM@ ب وإلى @NUM@ ز نسبة @NUM@ ب إلى @NUM@ ج وإلى @NUM@ ح نسبة @NUM@ ا إلى @NUM@ ج فيكون @NUM@ ه ز ح أقدار هذه النسب ولما كانت نسبة @NUM@ ه إلى الواحد بالخلاف كنسبة @NUM@ ب إلى @NUM@ ا ونسبة الواحد إلى @NUM@ ح كنسبة @NUM@ ا إلى @NUM@ ج فبالمساواة (¬43) نسبة @NUM@ ه إلى @NUM@ ح كنسبة @NUM@ ب إلى @NUM@ ج وكانت نسبة @NUM@ ب ms21 إلى @NUM@ ج كنسبة الواحد إلى @NUM@ ز (¬44) فنسبة الواحد إلى @NUM@ ز كنسبة @NUM@ ه إلى @NUM@ ح فيضعف (¬45) @NUM@ ح بالواحد الذي هو @NUM@ ح د نسبة (¬46) أعني قدر نسبة @NUM@ ا إلى @NUM@ ج يساوي تضعيف @NUM@ ه ب @NUM@ ز أعني (¬47) نسبة @NUM@ ا إلى @NUM@ ب بقدر نسبة @NUM@ ب إلى @NUM@ ج فإذا نسبة @NUM@ ا إلى @NUM@ ج مؤلفة منهاوكذلك كل نسبة تساويهما وأيضا هي وكل نسبة يساويها (¬48) مؤلفة من كل نسبتين تساويان المذكورتين لأن أقدار النسب المتساوية لا تختلف وذلك ما أردناه

فإن كانت النسبتان واحدة كانت نسبة الطرفين كنسبة أحدهما إلى الوسط مثناة وإن كان مقداران من الثلاثة متساويتين كانت المؤلفة مؤلفة من نسبة مثلها ومن نسبة الميل وإذا تبين هذا في ثلاثة مقادير فهو فيما يتجاوزها ظاهر وهذه النسب الثلاثة إذا تباينت أركانها كانت الأركان ستة إثنان للمؤلفة وأربعة للبسيطين وتسمى مقدم المؤلفة مع تالي البسيطتين جزءا أولا والثلاثة الباقيين (¬49) جزءا ثانيا ويحصل من ضرب أقدار كل حيز بعضها في بعض مجسما فأقول مجسما الحيزين متساويان مثاله نسبة @NUM@ ا إلى @NUM@ ب مؤلفة من نسبة @NUM@ ج إلى @NUM@ د ومن نسبة @NUM@ ه إلى @NUM@ و فالمجسم الحاصل من أقدار @NUM@ ا د والحيز الأول يساوي المجسم الحاصل من أقدار @NUM@ ب ج ه الحيز الثاني فليضرب @NUM@ ج في @NUM@ ه وليكن @NUM@ ز و @NUM@ د في @NUM@ ه وليكن @NUM@ ح و @NUM@ د في @NUM@ و فليكن @NUM@ ط ف @NUM@ ج د ضربا في @NUM@ ه وحصل @NUM@ ز ح فنسبة @NUM@ ح إلى @NUM@ د كنسبة @NUM@ ز إلى @NUM@ ح و @NUM@ د ضرب في @NUM@ ه @NUM@ ز وحصل @NUM@ ح @NUM@ ط فنسبة @NUM@ ه إلى @NUM@ ز كنسبة @NUM@ ح إلى @NUM@ ط فنسبة @NUM@ ز إلى @NUM@ ط مؤلفة من نسبة @NUM@ ز إلى @NUM@ ح أعني @NUM@ ج إلى @NUM@ د ومن نسبة @NUM@ ح إلى @NUM@ ط أعني @NUM@ ه إلى @NUM@ د فإذا هي كنسبة @NUM@ ا إلى @NUM@ ب ف @NUM@ ا في @NUM@ ط أعني في @NUM@ د في @NUM@ ز ف @NUM@ ب في @NUM@ ز أعني نسبة @NUM@ ج في @NUM@ ه وذلك ما أردناه

ثم أقول ونسبة كل واحد من أقدار أحد الحيزين (¬50) إلى كل واحد من أقدار الحيز ms22 الآخر مؤلفة من نسبتين تقع بين الأقدار الأربعة الباقية بشرط أن يكون مقدماهما بين (¬51) الحيز الذي يكون تالي المؤلفة منه وتالياهما من الحيز الذي يكون مقدم المؤلفة منه على التكافي بمثاله نسبة @NUM@ د إلى @NUM@ ج مؤلفة من نسبة @NUM@ ب إلى @NUM@ ا ومن نسبة @NUM@ ه إلى @NUM@ و وذلك لأنا إذا جعلنا @NUM@ د في مجسم @NUM@ د ا وأعني مجسم الحيز الأول ارتفاعه و @NUM@ ج في المجسم الآخر ارتفاعه بقي مسطح @NUM@ ا في @NUM@ و قاعدة المجسم الأول ومسطح @NUM@ ب في @NUM@ ه قاعدة المجسمA الثاني ولما كان المجسمان متساويين كانت نسبة الاتفاعين كنسبة القاعدتين على التكافي لما ثبت في كتاب الأصول ولكن نسبة مسطح @NUM@ ب في @NUM@ ه إلى مسطح @NUM@ ا في @NUM@ و مؤلفة من نسبة أضلاعهما أعني من نسبة @NUM@ ب إلى @NUM@ ا ومن نسبة @NUM@ ه إلى @NUM@ و فإذا نسبة @NUM@ د إلى @NUM@ ج التي هي كنسبة القاعدتين أيصا مؤلفة منهما وذلك ما أردناه وأيضا نسبة المسطحين كما كانت مؤلفة من نسبة @NUM@ ب إلى @NUM@ ا ومن نسبة @NUM@ ه إلى @NUM@ و فهي مؤلفة أيضا من نسبة @NUM@ ب إلى @NUM@ و ومن نسبة @NUM@ ا إلى @NUM@ ه على تبادل المقدمين أو التاليين وكذلك نسبة @NUM@ د إلى @NUM@ ج فإذا كل نسبة مؤلفة من نسبتين فهي مؤلفة من نسبتين أخرتين محدثان بين أركانها إذا تبادلت المقدمان أو التاليان ولما كانت أقدار كل حيز ثلاثة والثلاثة في الثلاثة تسعة فهاهنا تسع نسب مقدماتها من أحد الحيزين وتواليها من الحيز الآخر كل واحدة منها مؤلفة نوعين من التأليف فهي بالحقيقة ثماني عشرة نسبة مؤلفة وتسع نسب مثلها مقدماتها من الحيز الثاني وتواليها من الأول والجميع ست وثلاثون كلها متلازمة تثبت بثبوت واحدة منها فإن تساوي مقداران من حيزين تناسبت الأربعة الباقية من غير تأليف لأن نسب † المجسمات † المتساوية الارتفاعات نسب قواعدها فإذا جعل المقداران المتساويان ارتفاعين كانا مجسمين متساويتين (¬52) متساوي الارتفاعين وكانت قواعدهما متساوية وأضلاع السطوح القائمة الزوايا المتساوية متناسبة على التكافي فإذن التناسب بين الأضلاع الأربعة حاصل مثاله إن يساوي قدرا @NUM@ ا @NUM@ ب ms23 من حيزي @NUM@ ا د و @NUM@ ب ج ه كان سطح @NUM@ د في @NUM@ ز مساويا لمسطح @NUM@ ج في @NUM@ ه وكانت نسبة @NUM@ د إلى @NUM@ ج كنسبة @NUM@ ه إلى @NUM@ و أو نسبة @NUM@ د إلى @NUM@ ه كنسبة @NUM@ ج إلى @NUM@ و وأقول كما إذا كان أحد أربعة مقادير متناسبة مجهولا فقط أمكن معرفته من الثلاثة الباقية بقسمة مضروب واحد منها في الذي لا يقع معه في نسبة على الثالث بتخرج المجهول فإذا كان أحد هذه الستة مجهولا فقط أمكن معرفته من الخمسة الباقية بوجهين أحدهما أن يقسم مجسم الحيز المعلوم الأقدار على مسطح القدرين المعلومين من الحيز الذي وقع المجهول فيه لتخرج المجهول والثاني أن يوضع الأقدار في ثلاثة سطور متوازية على وجه يبقي فرجه بين ركني النسبة المؤلفة وبعد ركني إحدى الباقيين وقبل ركني الأخيرة هكذا فإن كان المجهول مثلا @NUM@ ا طلبنا إما وسطا بين @NUM@ ا ب يكون (¬53) نسبته إلى @NUM@ ب نسبة @NUM@ ه إلى @NUM@ و وليكن @NUM@ ز فيكون (¬54) نسبة @NUM@ ا إلى @NUM@ ز كنسبة @NUM@ ج إلى @NUM@ د ويصير @NUM@ ا معلوما وإما لاحقا ب @NUM@ ج د يكون (¬55) نسبة @NUM@ د إليه نسبة @NUM@ ه إلى @NUM@ و وليكن @NUM@ ح فيكون (¬56) نسبة @NUM@ ا إلى @NUM@ ب كنسبة @NUM@ ج إلى @NUM@ ح ويصير @NUM@ ا معلوما وإما سابقا على @NUM@ ه يكون نسبته إلى @NUM@ ه كنسبة @NUM@ ج إلى @NUM@ و ليكن @NUM@ ط ويكون نسبة @NUM@ ا إلى @NUM@ ب كنسبة @NUM@ ط إلى @NUM@ و ويصير @NUM@ ا معلوما ويصير هكذا وعلى هذا القياس في سائر الأركان فهذا ما أردت تقديمه من أحكام النسب المؤلفة ونعود إلى الكتاب

وهو القطاع (¬57) خطا @NUM@ ب ه @NUM@ ج د خرجا من طرفي في خطي @NUM@ ا بB @NUM@ ا ج المحيطين بزاوية @NUM@ ا وتقاطعا بينهما على @NUM@ ز وانتهيا إليهما على @NUM@ ه د فنسبة @NUM@ ج ا إلى @NUM@ ا ه بالتركيب مؤلفة من نسبة @NUM@ ج د @NUM@ د ز الأولى ونسبة @NUM@ زب @NUM@ ب ه الثانية لأنا إذا أخرجنا @NUM@ ه ح موازيا ل @NUM@ ج د وجعلنا @NUM@ د ز وسطا بين @NUM@ ج د @NUM@ ه ح اللذين نسبتهما نسبة @NUM@ ج ا @NUM@ ا ه ms24 بسبب تشابه مثلثي @NUM@ ا د ج @NUM@ ا ح ه صارت تلك النسبة مؤلفة من نسبة @NUM@ ج د @NUM@ د ز الأولى بعينها ونسبة @NUM@ د ز @NUM@ ه ح المساوية لنسبة @NUM@ ز ب @NUM@ ب ه الثانية بسبب تشابه مثلثي @NUM@ ب د ز @NUM@ ب ح ه وكذلك نسبة @NUM@ ج ه @NUM@ ه ا على التفصيل مؤلفة من نسبة @NUM@ ج ز @NUM@ ز د الأولى نسبة @NUM@ د ب @NUM@ ب الثانية لأنا إذا أخرجنا @NUM@ ح موازيا ل @NUM@ ه ب و @NUM@ ج د إليه ثم جعلنا @NUM@ ز د وسطا بين @NUM@ ج ز @NUM@ ز ح صارت نسبة @NUM@ ج ز @NUM@ ز ح المساوية لنسبة @NUM@ ج ه @NUM@ ه ا بسبب تشابه مثلثي @NUM@ ج ز ه @NUM@ ج ح ا مؤلفة من نسبة @NUM@ ج ز @NUM@ ز د الأولى بعينها ونسبة @NUM@ ز د @NUM@ ز ح المساوية † لنسبة † @NUM@ د ب @NUM@ ب (¬58) الثانية بسبب تشابه مثلثي @NUM@ د ز ب @NUM@ د ا ح

أقول وإذا † اعتبر مثلها † بين النسبتين في الجانب الآخر من الشكل أعني نسبة @NUM@ ب ا @NUM@ ا د بالتركيب و @NUM@ ب د @NUM@ د ا بالتفصيل واعتبر مع كل واحدة من هذه النسب خمسة (¬59) وثلاثون نسبة يلازمها (¬60) وتقع † في أركانها † حصلت أنواع كثيرة من تأليف النسب في هذا الشكل دائرة @NUM@ ا ب ج † على مركز @NUM@ د وعلى محيط دائرة نقط † (¬61) @NUM@ ا ب ج كيف ما وقعت محيط بقوسي @NUM@ ا ب @NUM@ ب ج بشرط أن يكون كل واحدة أصغر من نصف الدائرة وكذلك كل قوس نذكره فيما بعد ونصل نصف قطر @NUM@ ب د ووتر @NUM@ ا ج متقاطعين على @NUM@ ه ونقول نسبة جيب @NUM@ ا ب إلى جيب @NUM@ ب ج كنسبة @NUM@ ا ه إلى @NUM@ و ج

@NUM@

وبطلميوس يبين النسب في أوتار أضعاف القسي في كل موضع لكن لما كانت النسب في الأضعاف والأنصاف واحدة استعمل المحدثون الجيوب تخفيفا فلنخرج لبيان ما أدعيناه عمودي @NUM@ ا ز @NUM@ ج ح على @NUM@ ب د ومحدث مثلثا @NUM@ ا ز ه @NUM@ ج ح ه المتشابهين لتساوي متقابلتي @NUM@ ه وقائمتي @NUM@ ز @NUM@ ح فتكون النسبة على ما دمرناه ms25 وأيضا إذا كانت قوس @NUM@ ا ج ز نسبة جيب @NUM@ ا ب إلى جيب @NUM@ ب ح معلومتين كانت كل واحدة من قوسي @NUM@ ا ب @NUM@ ب ج معلومة و @NUM@ ا با (¬62) أقدم قبل بيان ذلك أحكام المثلثات المستقيمة الخطوط فإنها كثيرة الغناء في هذا الكتاب فأقول مقدار الزاوية المستقيمة الخطين هو مقدار القوس التي بوترها عند وقوعها على محيط دائرة أو مركزها فإذا أحاطت دائرة بمثلث كان المحيط موزعا على زواياه وإذا أعرفت مقادير القسي صارت مقادير الزوايا ونسب بعضها إلى بعض معلومة وصارت نسب الأضلاع بعضها إلى بعض نسب أوتار القسي أيضا معلومة وكان مقدار الزاوية القائمة نصف الدور أما إذا وقعت الزوايا على المركز صارت مقاديرها أنصاف ما كانت على المحيط لأن الزوايا تتناسب تناسب القسي فكما كانت المركزية ضعف المحيطية عند تساوي قوسيهما يكون (¬63) قوس المحيطية ضعف قوس المركزية عند تساويهماA والأضلاع الموترة لها تتناسب تناسب جيوبها أعني في مثلث @NUM@ ا ب ج مثال نسبة @NUM@ ا ب إلى @NUM@ ا ج كنسبة جيب زاوية @NUM@ ج إلى جيب زاوية @NUM@ ب برهانه نخرج الأضلاع المحيطة بزاويتي @NUM@ ج @NUM@ ب ونجعل @NUM@ ج د @NUM@ ج ه @NUM@ ب ح @NUM@ ب ط متساوية وندير على مركزي @NUM@ ج @NUM@ ب بهذه الأبعاد قوسي @NUM@ د ه @NUM@ ح ط ونخرج عمودي @NUM@ ه ز @NUM@ ط ك على @NUM@ د ح فيهما جيبا زاويتي @NUM@ ج @NUM@ ب ونخرج عمود @NUM@ ا ل على @NUM@ ب ج فليشابه مثلثي @NUM@ ا ل ج @NUM@ ه ز ج نسبة @NUM@ ه ز إلى @NUM@ ا ل كنسبة @NUM@ ه ح إلى @NUM@ ا ج وليشابه مثلثي @NUM@ ا ل ب @NUM@ ط ك ب نسبة @NUM@ ا ل إلى @NUM@ ط ك كنسبة @NUM@ ا ب إلى @NUM@ ط ب أعني @NUM@ ه ج فبالمساواة المضطرية نسبة @NUM@ ه ز إلى @NUM@ ط ك الجيبين كنسبة @NUM@ ا ب إلى @NUM@ ا ج الضلعين وإذا يتبين ذلك فالمعلوم في المثلث القائم الزاوية إن كان ضلعين أو ضلعا وزاوية غير القائمة كان باقي الأضلاع والزوايا معلومة لأن القائمة معلومة والباقية هي تمام المعلومة من الربع والأضلاع على ms26 نسب جيوب الزوايا إما إن كان زاوية فقط كانت الزوايا ونسب الأضلاع معلومة دون مقاديرها وإن كان ضلعا فقط لم نعد شيئا وفي غير القائم الزاوية إن كان المعلوم جميع الأضلاع أو ضلعين وزاوية كانت الباقية معلومة بإخراج عمود يجعل المثلث مثلثين قائمي زاويتين وإن كان ضلعين وزاويتين كانت الباقية معلومة من غير إخراج العمود لأن الزاوية الباقية هي تمام المعلومتين إلى نصف الدور والأضلاع على نسبها وإن كان جميع الزوايا فلا يعلم بها إلا نسب الأضلاع وإن كان أقل من ذلك فلا يفيد شيئا ونعود إلى الكتاب

ونعيد الشكل العاشر ونصل نصف قطر @NUM@ ا د ونخرج عمود @NUM@ د ز إلى @NUM@ ا ج ونقول † لما † كانت † قوس † @NUM@ ا ج معلومة كان @NUM@ ا ز † جيب نصفها و @NUM@ د ز † جيب تمام نصفها وزاوية @NUM@ ز د ا معلومة فمثلث @NUM@ ا د ز القائم الزاوية معلوم بأيسره ولما كان @NUM@ ا ج معلوما † ونسبة † @NUM@ ا ه إلى @NUM@ ه ج معلومة كان كل واحد من @NUM@ ا ه @NUM@ ه ج بالانفراد معلوما فإذا مثلث † @NUM@ ه † @NUM@ د ز من ضلعي @NUM@ ه ز @NUM@ ز د المعلومين معلوم بأيسره فزاوية @NUM@ ا د ب وهي مقدار قوس @NUM@ ا ب معلومة وقوس @NUM@ ب ج الباقية أيضا معلومة

وأيضا فأن كانت إحدى القوسين اللتين محيط بهما النقط الثلاث منطبقة على الأخرى كقوسي @NUM@ ا ب @NUM@ ا ج في هذه الصورة أخرجنا @NUM@ د ا @NUM@ ج ب حتى تتلاقيا على @NUM@ ه في إحدى الجهتين ونخرج عمودي @NUM@ ب ز @NUM@ ج ح على القطر فيكون لتشابه مثلثي @NUM@ ه ز ب @NUM@ ع ح ج نسبة @NUM@ ب ز جيب @NUM@ ا ب إلى @NUM@ ج ح جيب @NUM@ ا م كنسبة @NUM@ ب ه إلى @NUM@ ه ج وأيضا فإذا كانت قوس @NUM@ ج ب ونسبة جيب @NUM@ ا ج إلى @NUM@ ا ب معلومتين فقوس @NUM@ ا ب معلومة ولنصل @NUM@ د ب ] د ب [ ونخرج عمودي ونقول لما كانت زاوية @NUM@ ز د ب وضلعا @NUM@ ب ز @NUM@ ز د معلومة من قوس @NUM@ ب ج فمثلث @NUM@ ب د ز ms27 معلوم بأيسره ولأن نسبة @NUM@ ج ه إلى @NUM@ ه ب معلومة و @NUM@ ج ب معلوم ف @NUM@ ه ب معلوم وجميع @NUM@ ز ه معلوم و @NUM@ ز د معلوم فمثلث @NUM@ ز د ه معلوم وزاوية @NUM@ ز د ه معلومة فزاوية @NUM@ ب د ا أعني قوس @NUM@ ا ب معلومة وكذلكB قوس @NUM@ ا ج (¬64) أقول وإن توازي خطا @NUM@ د ا @NUM@ ج ب يساوي جيبا قوسي @NUM@ ا ب @NUM@ ا ج وكان @NUM@ ا ب تمام نصف @NUM@ ج ب من الربع وذلك ظاهر

وزاد ثابت في نسخته شكلا لكونهما متلاقتين في جهة @NUM@ ج وهو القطاع الكبرى قوسا @NUM@ ا ب @NUM@ ا ج على سطح كرة وقعت عليهما @NUM@ ب ه @NUM@ ج د المتقاطعتان على @NUM@ ز وكلها من العظام بنسبة جيب قوس @NUM@ ج ه إلى جيب قوس @NUM@ ه ا بالتفصيل مؤلفة من نسبة جيب قوس @NUM@ ج ز إلى جيب قوس @NUM@ ز د ومن نسبة جيب قوس @NUM@ د ب إلى جيب قوس @NUM@ ب ا

وليكن مركز الكرة @NUM@ ح ونخرج منه خطوط @NUM@ ح ب @NUM@ ح ز @NUM@ ح ه ونصل @NUM@ ا د ونخرجه إلى أن يلقى @NUM@ ح ب على @NUM@ ط ونصل @NUM@ د ج @NUM@ ا ج فيقطعان @NUM@ ح ز @NUM@ ح ه على @NUM@ ك ل فنقط @NUM@ ط @NUM@ ك ل الكائنة في سطح مثلثي @NUM@ ا ج د ودائرة @NUM@ ب ز ه معا يكون على فصلهما المشترك وهو خط @NUM@ ط ك ل فمحدث قطاع @NUM@ ج ا ط ك السطحي فتكون فيه نسبة @NUM@ ج ل إلى @NUM@ ل ا (¬65) بالتفصيل مؤلفة من نسبتي @NUM@ ج ك ك د و @NUM@ د ط ط ا لكن نسبة @NUM@ ج ل @NUM@ ل ا كنسبة جيبي @NUM@ ج ه @NUM@ ه ا ونسبة @NUM@ ج ك @NUM@ ك د كنسبة جيبي @NUM@ ج ز @NUM@ ز د ونسبة @NUM@ د ط @NUM@ ط ا كنسبة جيبي @NUM@ د ب @NUM@ ب ا فإذا نسبة جيبي @NUM@ ج ه @NUM@ ه ا مؤلفة من نسبتي @NUM@ ج ز @NUM@ ز د ونسبة جيبي @NUM@ د ب @NUM@ ب ا

أقول وإن كان يلاقي @NUM@ ا د @NUM@ ح ب في جهة @NUM@ ج أخرجنا قوسي @NUM@ ب ms28 ه @NUM@ ب ا إلى أن يتلاقيا لتمام نصف الدائرتين على @NUM@ ج وتممنا الشكل كما في هذه الصورة وكان القطاع السطح الحادث هو @NUM@ ط د ج ل وفيه نسبة @NUM@ ج ل @NUM@ ل ا التي هي كنسبة جيبي @NUM@ ج ه @NUM@ ه ا مؤلفة من نسبة @NUM@ ج ك @NUM@ ك د التي هي كنسبة جيبي @NUM@ ج ز @NUM@ ز د ومن نسبة @NUM@ د ط @NUM@ ط ا التي هي كنسبة جيبي @NUM@ د م @NUM@ م ا أعني جيبي @NUM@ د ب @NUM@ ب ا لأن جيب @NUM@ د م هو جيب @NUM@ د ب لكونهما معا نصف دائرة وكذلك جيب @NUM@ ا م هو جيب @NUM@ ا ب

وإن كانا أعني @NUM@ د ا @NUM@ ح ب موازيتين كان أيضا @NUM@ ك ل موازيا ل @NUM@ ح ب وإلا فليلقه على @NUM@ ط وحينئذ تكون نقط @NUM@ د ا ط في سطحي مثلث @NUM@ ا ج د ودائرة @NUM@ ب د ا فيكون على خط مستقيم ويكون @NUM@ د ا ملاقيا ل @NUM@ ب ح وقد فرض موازيا له هذا خلف فإذن في مثلث @NUM@ ج ا د الذي وقع @NUM@ ك ل الموازي لقاعدته على ساقيه نسبة @NUM@ ج ل ل @NUM@ ب ا التي هي كنسبة جيبي @NUM@ ج ه @NUM@ ه ا كنسبة @NUM@ ج ك @NUM@ ك د أعني نسبة جيبي @NUM@ ج ز @NUM@ ز د فنسبة جيبي @NUM@ ج ه @NUM@ ه ا مؤلفة من نسبة جيبي @NUM@ ج ز @NUM@ ز د التي هي مثل نسبتهما ومن نسبة جيبي @NUM@ د ب @NUM@ ب ا التي هي نسبة المثل ونعود إلى الكتاب

قال ونبين أن نسبة جيبي @NUM@ ج ا @NUM@ ا ه بالتركيب أيضا مؤلفة من نسبة جيبي @NUM@ ج د @NUM@ د ز ونسبة جيبي @NUM@ ز ب @NUM@ ب ه أقول وذلك بأن يتمم نصفي دائرتيA @NUM@ ج ا ح @NUM@ ج د ح فيقول في قطاع @NUM@ ح ه ب د نسبة جيب @NUM@ ح ا أعني جيب @NUM@ ج ا إلى جيب @NUM@ ا ه بالتفصيل مؤلفة من نسبة جيب @NUM@ ح د أعني جيب @NUM@ ج د إلى جيب @NUM@ د ز ومن نسبة جيب @NUM@ ز ب إلى جيب @NUM@ ب ه ms29 وفي نسخة ثابت أيضا قد زيدت نظائر هذه الأشكال الثلاثة التي أوردناها

واعلم أنه إذا اعتبرت النسب التي تلازم هاتين النسبتين واقعة في أركانها والنسب التي تلازم ما يشبههما من سائر النسب حصلت أنواع كثيرة من تأليف النسب في هذا الشكل كما كانت في القطاع السطحي وهاهنا تمت المقدمات الموضوعة في الكتاب وقد اخترع المتأخرون شكلين يقومان مقام القطاع ويغنيان عنه وعن النسب المؤلفة الواقعة فيه يعرف أحدهما بالمعنى والآخر بالظلي وأقاموا على مطالبهما براهين كثيرة وإنا أوردهما هاهنا وأبينهما مما يناسب القطاع فأقول في بيان المعنى ليكن مثلث @NUM@ ا ب ج على سطح الكرة من العظام وليس في أضلاعه ما يجاوز الربع وزاوية @NUM@ ب منه قائمة فأقول نسبة جيب إحدى زاويتيه الباقيتين ولكن @NUM@ ا إلى جيب الضلع الذي بوترها وهو @NUM@ ب ج كنسبة جيب زاوية @NUM@ ب القائمة أعني نصف القطر إلى جيب الضلع الذي بوترها وهو @NUM@ ا ج ولنخرج @NUM@ ا ب @NUM@ ا ج لتمام الربع إلى @NUM@ د ه ويدار على قطب @NUM@ ا قوس @NUM@ د ه من العظام فهي قدر زاوية @NUM@ ا ويفصل من @NUM@ د ز بقدر @NUM@ ب ج ونوصل @NUM@ ج ز بخط مستقيم فيكون موازيا لسطح دائرة @NUM@ ا د لتساوي @NUM@ ز د @NUM@ ج ب القائمين عليه على زوايا قائمة ولكن مركز الكرة @NUM@ ح ونصل وتر @NUM@ ه ز ونخرج @NUM@ ح د معه إلى أن يتلاقيا على @NUM@ ط ضرورة لكون @NUM@ ه د أقل من الربع ونصل أيضا وتر @NUM@ ه ج ونصف قطر @NUM@ ح ا ونخرجهما إلى أن يتلاقيا على @NUM@ ك ونصل @NUM@ ط ك فيكون لكونه في سطح دائرة @NUM@ ا د وفي سطح مثلث @NUM@ ه ز ج موازيا ل @NUM@ ز ج ويكون في مثلث @NUM@ ه ط ك البه (¬66) وقع @NUM@ ج ز الموازي لقاعدته على ساقيه نسبة @NUM@ ه ط إلى @NUM@ ط ل أعني نسبة جيب @NUM@ ه د إلى @NUM@ د ز بل نسبة جيب زاوية @NUM@ ا إلى جيب @NUM@ ب ج وترها لنسبة @NUM@ ه ك إلى @NUM@ ك ج أعني جيب @NUM@ ه ا الربع إلى جيب ms30 @NUM@ ج ا بل جيب زاوية @NUM@ ب القائمة إلى وترها وهو المطلوب

وأيضا بالإبدال نسبة جيب زاوية @NUM@ ا إلى جيب زاوية @NUM@ ب القائمة كنسبة جيب ضلع @NUM@ ب ج إلى جيب ضلع @NUM@ ا ج فإن كانت لزاوية @NUM@ ا أو لزاوية أخرى من العظام تساويها وتر آخر من العظام قائم على أحد ضلعيها كوتر @NUM@ ل م القائم على @NUM@ ا د كانت نسبة جيب @NUM@ ا م إلى جيب @NUM@ م ل كنسبة جيب @NUM@ ا ج إلى جيب @NUM@ ج ب لكونهما جميعا كنسبة جيب القائمة إلى جيب زاوية @NUM@ ا وقد تسمى قوسا @NUM@ ج ب @NUM@ م ل وأمثالها بالقياس إلى قوسي @NUM@ ا ج @NUM@ ا م ميولا و (¬67) بالقياس إلى فوسي @NUM@ اب @NUM@ ال عروضا وميولا ثانية فإذا جيوب القسي تتناسب نتاسب جيوب ميولها وفي المثلثات غير القائم الزاوية من العظام ك @NUM@ ا ز ج يكون (¬68)B نسبة جيب زاوية @NUM@ ب إلى جيب زاوية @NUM@ ج ب كنسبة جيبي وتريهما لأنه إذا قامت قوس @NUM@ ا د على @NUM@ ب قوائم كانت في مثلث @NUM@ ا ب د فنسبة جيب زاوية @NUM@ ب إلى جيب @NUM@ ا د كنسبة جيب القائمة إلى جيب @NUM@ ا ب وفي مثلث @NUM@ ا د ج نسبة جيب @NUM@ ا د إلى جيب زاوية @NUM@ ج كنسبة جيب @NUM@ ا ج إلى جيب القائمة فبالمساواة المضطرية نسبة جيب زاوية @NUM@ ب إلى جيب زاوية @NUM@ ج كنسبة جيب @NUM@ ا ج إلى جيب @NUM@ ا ب

وأما الظلي فتحتاج إلى تقديم تعريف الظل وأحواله وتعني بظل القوس هاهنا ما يقع بين قطرين يمران بطرفي القوس من عمود يقوم على طرف أحدهما كما إذا فرضنا في دائرة @NUM@ ا ب ج حول مركز @NUM@ د قوس @NUM@ ا ب وقطري @NUM@ ا ج @NUM@ ب ه مارين بطرفهما (¬69) وأقمنا على نقطة @NUM@ ا من قطر @NUM@ ا ج عمودا عليه وأخرجناه مع قطر @NUM@ ب ه حتى يتلاقيا على @NUM@ ز ف @NUM@ ا ز ظل قوس @NUM@ ا ب وهو مواز لعمود @NUM@ ب ح الذي هو جيبها ونسبة @NUM@ ا ز ظل القوس إلى @NUM@ ا د نصف القطر كنسبة @NUM@ ب ح ms31 جيبها إلى @NUM@ ح د جيب تمامها وإذا أقمنا قطر @NUM@ ط ي على @NUM@ ا ج ومن نقطة @NUM@ ط عمود @NUM@ ط ل كان @NUM@ ط ل ظلي تمام @NUM@ ا ب وهو مواز بجيب تمامه وكان نصف القطر وسطا في النسبة بين ظل القوس وظل تمامها لأن نسبة @NUM@ ز ا إلى @NUM@ ا د أعني @NUM@ د ط كنسبة @NUM@ د ط إلى @NUM@ ط ل وكان ضرب الشيء في أحدهما كقسمته على الآخر لأنا إذا جعلنا نصف القطر واحدا بقدر منه هذه المقادير وضربنا مثلا @NUM@ م (¬70) في ظل @NUM@ ا ز فيحصل @NUM@ ن ه كأن نسبة الواحد إلى ظل @NUM@ ا ز كنسبة @NUM@ م إلى @NUM@ ن ه ثم قسمنا @NUM@ م أيضا على ظل @NUM@ ط ل فيحصل @NUM@ س ه كأن نسبة الواحد إلى ظل @NUM@ ط ل كنسبة @NUM@ س ه إلى @NUM@ م وبالخلاف نسبة @NUM@ ط ل إلى الواحد كنسبة @NUM@ م إلى @NUM@ س ه ولكن نسبة @NUM@ ط ل إلى الواحد كنسبة الواحد إلى @NUM@ ا ز أعني نسبة @NUM@ م إلى @NUM@ ن ه فنسبة @NUM@ م إلى @NUM@ س ه كنسبة إلى @NUM@ ن ه فإذا @NUM@ ن ه و @NUM@ س ه الحاصل من الضرب والقسمة شيء واحد وذلك عند ما نجعل أجزاء القطر دقائق وللأظلال خواص أخر بطول الكتاب بشرحها وهذان الظلان أعني ظل القوس وظل تمامها يعرفان الأول والثاني إذا نسبتا إلى قوس واحدة كقوس @NUM@ ا ب في المثال المذكور وسيأتي ذكر الظل الثاني في المقالة الثانية وإنا وضعت الأظلال الأوفي للقسي المتفاضلة بنصف جزء إلى ثمن الدائرةA مقداره بأجزاء القطر وكسورها في جدول ما تممت الربع لفرط تزايد التفضلات (¬71) في الثمن الثاني وقيام هذا الثمن بالقوة مقامة في أكثر المواضع كما مر في الجدول

ونعود إلى بيان الظلي فنعيد مثلث @NUM@ ا ب ج على ما وضعناه ونقول نسبة ظل زاوية غير القائمة مثلا @NUM@ ا إلى ظل وترها وهو @NUM@ ب ج كنسبة جيب زاوية @NUM@ ب القائمة إلى جيب الضلع الواقعة بين الزاويتين وهو @NUM@ ا ب ويخرج @NUM@ ا ب @NUM@ ا ج إلى @NUM@ د @NUM@ ه تمام † الربع † ويدير ms32 @NUM@ د ه من العظام ويخرج من مركز الكرة وهو @NUM@ ز خطوط @NUM@ ز ا @NUM@ ز ج @NUM@ ز ه ويخرج عمودي @NUM@ ب ح @NUM@ د ط على سطح دائرة @NUM@ ا د إلى أن يلقيا @NUM@ ز ح @NUM@ ز ه على @NUM@ ح @NUM@ ط فهما أعني @NUM@ ب ح @NUM@ د ط طلا قوسي @NUM@ ب ج @NUM@ د ه ونصل @NUM@ و ز @NUM@ د ب ونخرجه إلى أن يلقى @NUM@ ز ا على @NUM@ ك فتكون نقط @NUM@ ط @NUM@ ح @NUM@ ك على خط مستقيم لكونهما في سطحي عمودي @NUM@ ب ح @NUM@ د ط المتوازيين وفي سطح دائرة @NUM@ ا ه ونصل @NUM@ ط ح ك ثم نقول في مثلث @NUM@ د ط ك الذي وقع @NUM@ ب ح الموازي لقاعدته على ساقيه نسبة @NUM@ د ط ظل زاوية @NUM@ ا إلى @NUM@ ب ح ظل وترها كنسبة @NUM@ د ك إلى @NUM@ ك ب أعني كنسبة جيب @NUM@ د ا الربع وهو جيب القائمة إلى جيب @NUM@ ا ب وهو المطلوب وأيضا بالإبدال نسبة ظل زاوية @NUM@ ا إلى جيب القائمة كنسبة ظل @NUM@ ب ج إلى جيب @NUM@ ب ا فإن كان لزاوية @NUM@ ا أو زاوية أخرى تساويها وتر آخر من العظام قائم على أحد ضلعها (¬72) كوتر @NUM@ ل م القائم على @NUM@ ا د كانت نسبة ظل @NUM@ ل م إلى جيب @NUM@ ل ا كنسبة ظل @NUM@ ب ج إلى جيب @NUM@ ب ا لكونهما معا كنسبة ظل زاوية @NUM@ ا إلى جيب القائمة فإذا جيوب القسي تتناسب تناسب أظلال عروضها وتتفرع على كل واحد من هذين الأصلين أعني المعنى والظل فرعان

فلنعد لبيانها في (¬73) الشكل المتقدم ويخرج @NUM@ د ه @NUM@ ب ج حتى يتلاقيا على @NUM@ ز قطب دائرة @NUM@ ا د ويتم القطاع ونقول أما الفرع الأول للمعنى فهو أن نسبة جيب تمام @NUM@ ب ج وتر زاوية @NUM@ ا إلى جيب تمام @NUM@ ا ج وتر القائمة كنسبة جيب القائمة إلى جيب تمام @NUM@ ا ب لضلع الباقي في ذلك لأن في مثلث @NUM@ ج ه ز زاوية @NUM@ ه ايضا قائمة لأن @NUM@ ا قطب @NUM@ د ز فنسبة جيب @NUM@ ز ج الذي هو تمام @NUM@ ب ج إلى جيب ms33 @NUM@ ج ه الذي هو تمام @NUM@ ا ج كنسبة جيب القائمة إلى جيب زاوية (¬74) @NUM@ ز أعني جيب @NUM@ د ب الذي هو تمام @NUM@ ا ب وأما الفرع الثاني فهو أن نسبة جيب تمام زاوية @NUM@ ا إلى جيب تمام @NUM@ ب ج وتررها كنسبة جيب زاوية @NUM@ ج إلى جيب القائمة وذلك لأن (¬75) في مثلث @NUM@ ه ز ج نسبة جيب @NUM@ ز ه الذي هو تمام زاوية @NUM@ ا إلى جيب @NUM@ ز د الذي هو جيب القائمة كنسبة ظل @NUM@ ه ج الذي هو تمام @NUM@ ز ج إلى ظل زاوية @NUM@ ز أعني @NUM@ د ب الذي هو تمام @NUM@ ا ب وأما الفرع الثاني فهو أن نسبة جيب تمام @NUM@ ا ج إلى جيب القائمة كنسبة ظل @NUM@ ه ز الذي هو تمام زاوية @NUM@ ا إلى ظل زاوية @NUM@ ج فهذا ما أردناه ولنعد في الكتاب

Taḥrīr al

Taḥrīr al-Majisṭī

نبذة عن الكتاب

الفهرس